Na aula da segunda, 30 de julho seguimos com a discussão do modelo newtoniano de expansão, correspondente ao capítulo 3 do livro de Liddle. Os tópicos estudados foram:
3. 1 The Friedmann equation .......................... 18
3.2 On the meaning of the expansion ...................... 21
3.3 Things that go faster than light ....................... 21
3.4 The fluid equation .............................. 22
3.5 The acceleration equation .......................... 23
3.6 On mass, energy and vanishing factors of c .................24
Uma questão interessante seria considerar o modelo newtoniano de expansão com ingredientes relativísticos, além daquele que consiste em se tomar a energia do fluido, ao se aplicar a primeira lei da termodinâmica para determinação da equação do fluido. Quais são os horizontes nos casos clássico e relativístico ?
Na aula 5, quarta, 01/8, retornaremos ao livro de Weinberg.
Tuesday, July 31, 2007
Friday, July 27, 2007
Aula 3 : Conseqüências do Princípio de Equivalência
Nesta sexta, na aula 3, foram apresentados os seguintes tópicos do livro do Weinberg, que devem ser cuidadosamente relidos, refazendo as passagens matemáticas:
3 THE PRINCIPLE OF EQUIVALENCE 67
1 Statement of the Principle 67
Equivalence of gravitation and inertia. Analogy with metric geometry. The weak and strong principles of equivalence.
2 Gravitational Forces 70
The equation of motion. The affine connection. The metric tensor. Motion of photons. Light travel times. Determination of the locally inertial frames.
3 Relation between metric and affine connection 73
Derivatives of the metric in terms of the affine connection.The Principle of Equivalence sharpened. Solution for the affine connection. Inverse of the metric tensor. Variational form of the equations of motion. Geodesics.
4 The Newtonian Limit 77
Relation between g_{00} and the Newtonian potential.
Os tópicos em azul serão apresentados na aula de quarta, 01/08.
Lembro que na quarta devem ser entregues os exercícios do cap. 2 de Liddle e na sexta, 03/08, os problemas propostos na aula de hoje (Weinberg):
1. Provar a eq. (3.2.10) .
2. Deduza a eq. (3.3.7).
Na segunda, 13:30, prosseguiremos com o cap. 3 de Liddle.
3 THE PRINCIPLE OF EQUIVALENCE 67
1 Statement of the Principle 67
Equivalence of gravitation and inertia. Analogy with metric geometry. The weak and strong principles of equivalence.
2 Gravitational Forces 70
The equation of motion. The affine connection. The metric tensor. Motion of photons. Light travel times. Determination of the locally inertial frames.
3 Relation between metric and affine connection 73
Derivatives of the metric in terms of the affine connection.The Principle of Equivalence sharpened. Solution for the affine connection. Inverse of the metric tensor. Variational form of the equations of motion. Geodesics.
4 The Newtonian Limit 77
Relation between g_{00} and the Newtonian potential.
Os tópicos em azul serão apresentados na aula de quarta, 01/08.
Lembro que na quarta devem ser entregues os exercícios do cap. 2 de Liddle e na sexta, 03/08, os problemas propostos na aula de hoje (Weinberg):
1. Provar a eq. (3.2.10) .
2. Deduza a eq. (3.3.7).
Na segunda, 13:30, prosseguiremos com o cap. 3 de Liddle.
Wednesday, July 25, 2007
Aula 2: Princípio de Equivalência
Na aula 2, do dia 25/07, concluímos a discussão do Capítulo 2 do livro de Liddle. Após iniciamos uma introdução física e heurística da Teoria da Relatividade Geral, baseada em Weinberg [1]. Discutimos sobre as diversas versões do Princípio de Equivalência (EP). Na próxima aula (27/07, sexta, 14:00) usaremos o EP como guia para estabelecer as equações de movimento de uma partícula em um campo gravitacional. Apresento abaixo alguns detalhes adicionais sobre o Princípio de Equivalência, baseada em grande parte em Will [2].
Apesar do Princípio de Equivalência ter sido considerado por Einstein (usado em 1907 para prever a deflexão da luz em um campo gravitacional) a pedra fundamental da teoria de relatividade geral, consideramos hoje o EP como o fundamento da idéia mais geral de que o espaço-tempo é curvo.
O chamado Princípio de Equivalência Fraco (WEP) é a forma do princípio de equivalência que Newton tinha mente é o que estabelece que a massa de um corpo é proporcional ao seu peso. Alternativamente, o Princípio de Equivalência Fraco estabelece que a trajetória de um corpo em queda livre (que não sofre ação de forças e muito pequeno para ser afetado por forças de maré) é independente de sua estrutura interna e composição. No caso simples da queda de dois corpos em um campo gravitacional o WEP afirma que os corpos caem com a mesma aceleração (universalidade da queda livre).
Após a formulação da relatividade geral (RG) de Einstein, tornou-se necessário o desenvolvimento de um programa para testar a RG relativamente a outras teorias de gravitação, compatíveis com a relatividade especial. Tal programa foi proposto por Robert Dicke nos anos 60 e sumurizado nas suas Les Houches Lectures de 1963 [1]. Dois novos princípios foram sugeridos, o chamado Princípio de Equivalência de Einstein (EEP) e o Princípio de Equivalência forte (SEP), ambos supondo o o WEP como ponto de partida.
O Princípio de Equivalência de Einstein estabelece que:
1. O WEP é válido
2. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente da velocidade do referencial de queda livre onde ele é realizado. Esta é a chamada Invariância de Lorentz Local (LLI).
3. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente de onde e quando ele é realizado. Esta parte é denominada Invariância de Posição Local (LPI).
Por exemplo, uma medida da força elétrica entre dois corpos carregados é um experimento local não-gravitacional; uma medida da força gravitacional entre dois corpos (experimento de Cavendish) é um experimento local que não é.
O Princípio de Equivalência de Einstein é o ingrediente básico das chamadas teorias métricas da gravitação. Se o EEP é válido, então a gravitação deve ser um fenômeno decorrente da curvatura do espaço. As teorias métricas da gravidade devem satisfazer os postulados:
1. O espaço-tempo é dotado de uma métrica simétrica.
2. As trajetórias de corpos-teste em queda livre são geodésicas desta métrica.
3. Em referenciais locais em queda livre, as leis não-gravitacionais da física são aquelas descritas pela teoria da relatividade especial.
O argumento que leva às conclusões acimas é baseado nos seguintes fatos: se o EEP é válido, então em referenciais locais em queda livre, as leis que governam os experimentos devem ser independentes da velocidade do referencial (Invariância de Lorentz Local), com valores constantes (no espaço-tempo) para as várias constantes atômicas (Invariância de Posição Local). As únicas leis conhecidas que satisfazem estas exigências são aquelas que são compatíveis com a relatividade especial. Além disso, de acordo com a primeira parte do EEP, em referenciais locais em queda livre, partículas-teste são não-aceleradas, ou seja, movem-se em linhas retas. Tais linhas "localmente retas" correspondem às geodésicas em um espaço-tempo curvo.
A relatividade geral é uma teoria métrica da gravidade, mas há também muitas outras, incluindo a teoria de Brans-Dicke e suas generalizações. Teorias onde constantes não-gravitacionais são associadas com campos dinâmicos que se acoplam com matéria diretamente não são métricas. A teoria de superstrings, por exemplo, embora baseada em uma métrica de espaço-tempo, introduz campos adicionais que podem acoplar-se ao tensor momento-energia da matéria de um modo que pode levar a violações do WEP. Há uma ambiguidade, no entanto, relacionada ao fato de devermos tratar tais campos como campos gravitacionais que violam o EEP, ou simplesmente como campos adicionais de matéria, como aqueles do eletromagnetismo ou interações fracas.
O Princípio de Equivalência Forte (SEP) estabelece que os resultados que qualquer experimento local, gravitacional ou não, em um referencial inercial, são independentes de onde e quando eles são realizados. Este princípio é relevante no caso de sistemas gravitantes com considerável energia de ligação gravitacional, tal como estrelas. Em particular, o SEP exige que a constante gravitacional seja a mesma em qualquer parte do universo.
Os testes experimentais do Princípio de Equivalência em suas diferentes partes são descrito por Will [2].
[1] S. Weiberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.
[2] Clifford M. Will, "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Rev. Relativity 4, (2001), http://www.livingreviews.org/lrr-2001-4
[1] Dicke, R.H., “Experimental relativity”, in DeWitt, C.M., and DeWitt, B.S., eds., Relativity, Groups and Topology. Relativité, Groupes et Topologie, Lectures delivered at Les Houches during the 1963 session of the Summer School of Theoretical Physics, University of Grenoble, 165-313, (Gordon and Breach, New York, U.S.A., 1964).
Apesar do Princípio de Equivalência ter sido considerado por Einstein (usado em 1907 para prever a deflexão da luz em um campo gravitacional) a pedra fundamental da teoria de relatividade geral, consideramos hoje o EP como o fundamento da idéia mais geral de que o espaço-tempo é curvo.
O chamado Princípio de Equivalência Fraco (WEP) é a forma do princípio de equivalência que Newton tinha mente é o que estabelece que a massa de um corpo é proporcional ao seu peso. Alternativamente, o Princípio de Equivalência Fraco estabelece que a trajetória de um corpo em queda livre (que não sofre ação de forças e muito pequeno para ser afetado por forças de maré) é independente de sua estrutura interna e composição. No caso simples da queda de dois corpos em um campo gravitacional o WEP afirma que os corpos caem com a mesma aceleração (universalidade da queda livre).
Após a formulação da relatividade geral (RG) de Einstein, tornou-se necessário o desenvolvimento de um programa para testar a RG relativamente a outras teorias de gravitação, compatíveis com a relatividade especial. Tal programa foi proposto por Robert Dicke nos anos 60 e sumurizado nas suas Les Houches Lectures de 1963 [1]. Dois novos princípios foram sugeridos, o chamado Princípio de Equivalência de Einstein (EEP) e o Princípio de Equivalência forte (SEP), ambos supondo o o WEP como ponto de partida.
O Princípio de Equivalência de Einstein estabelece que:
1. O WEP é válido
2. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente da velocidade do referencial de queda livre onde ele é realizado. Esta é a chamada Invariância de Lorentz Local (LLI).
3. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente de onde e quando ele é realizado. Esta parte é denominada Invariância de Posição Local (LPI).
Por exemplo, uma medida da força elétrica entre dois corpos carregados é um experimento local não-gravitacional; uma medida da força gravitacional entre dois corpos (experimento de Cavendish) é um experimento local que não é.
O Princípio de Equivalência de Einstein é o ingrediente básico das chamadas teorias métricas da gravitação. Se o EEP é válido, então a gravitação deve ser um fenômeno decorrente da curvatura do espaço. As teorias métricas da gravidade devem satisfazer os postulados:
1. O espaço-tempo é dotado de uma métrica simétrica.
2. As trajetórias de corpos-teste em queda livre são geodésicas desta métrica.
3. Em referenciais locais em queda livre, as leis não-gravitacionais da física são aquelas descritas pela teoria da relatividade especial.
O argumento que leva às conclusões acimas é baseado nos seguintes fatos: se o EEP é válido, então em referenciais locais em queda livre, as leis que governam os experimentos devem ser independentes da velocidade do referencial (Invariância de Lorentz Local), com valores constantes (no espaço-tempo) para as várias constantes atômicas (Invariância de Posição Local). As únicas leis conhecidas que satisfazem estas exigências são aquelas que são compatíveis com a relatividade especial. Além disso, de acordo com a primeira parte do EEP, em referenciais locais em queda livre, partículas-teste são não-aceleradas, ou seja, movem-se em linhas retas. Tais linhas "localmente retas" correspondem às geodésicas em um espaço-tempo curvo.
A relatividade geral é uma teoria métrica da gravidade, mas há também muitas outras, incluindo a teoria de Brans-Dicke e suas generalizações. Teorias onde constantes não-gravitacionais são associadas com campos dinâmicos que se acoplam com matéria diretamente não são métricas. A teoria de superstrings, por exemplo, embora baseada em uma métrica de espaço-tempo, introduz campos adicionais que podem acoplar-se ao tensor momento-energia da matéria de um modo que pode levar a violações do WEP. Há uma ambiguidade, no entanto, relacionada ao fato de devermos tratar tais campos como campos gravitacionais que violam o EEP, ou simplesmente como campos adicionais de matéria, como aqueles do eletromagnetismo ou interações fracas.
O Princípio de Equivalência Forte (SEP) estabelece que os resultados que qualquer experimento local, gravitacional ou não, em um referencial inercial, são independentes de onde e quando eles são realizados. Este princípio é relevante no caso de sistemas gravitantes com considerável energia de ligação gravitacional, tal como estrelas. Em particular, o SEP exige que a constante gravitacional seja a mesma em qualquer parte do universo.
Os testes experimentais do Princípio de Equivalência em suas diferentes partes são descrito por Will [2].
[1] S. Weiberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.
[2] Clifford M. Will, "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Rev. Relativity 4, (2001), http://www.livingreviews.org/lrr-2001-4
[1] Dicke, R.H., “Experimental relativity”, in DeWitt, C.M., and DeWitt, B.S., eds., Relativity, Groups and Topology. Relativité, Groupes et Topologie, Lectures delivered at Les Houches during the 1963 session of the Summer School of Theoretical Physics, University of Grenoble, 165-313, (Gordon and Breach, New York, U.S.A., 1964).
Tuesday, July 24, 2007
Aula 1: Origens da moderna cosmologia
Na aula desta terça (24/7/2007) discutimos rapidamente as origens da cosmologia relativística e revisamos o Capítulo 2, Observational Overview, do livro de Liddle. A seção 2.5 será concluída na aula de amanhã (14:00). Para a quarta-feira da semana que vem (o1/8) devem ser resolvidos os problemas 2.1 a 2.6 de Liddle. Além disso os seguintes problemas devem ser resolvidos:
1. Mostre que a linearidade da relação de Hubble é necessária para que o princípio cosmológico seja satisfeito.
2. Resolva a integral (2.9)
A disciplina também envolve a apresentação de seminários. Uma sugestão para o próximo seminário (o1 de agosto) é a apresentação do artigo de caráter histórico, sobre a publicação original de Hubble:
10.1073/pnas.2536799100
PNAS | January 6, 2004 | vol. 101 | no. 1 | 8-13
Hubble’s diagram and cosmic expansion
Robert P. Kirshner
Harvard–Smithsonian Center for Astrophysics, 60 Garden Street, Cambridge, MA 02138
Contributed by Robert P. Kirshner, October 21, 2003
Edwin Hubble’s classic article on the expanding universe appeared in PNAS in 1929 [Hubble, E. P. (1929) Proc. Natl. Acad. Sci. USA 15, 168–173]. The chief result, that a galaxy’s distance is proportional to its redshift, is so well known and so deeply embedded into the language of astronomy through the Hubble diagram, the Hubble constant, Hubble’s Law, and the Hubble time, that the article itself is rarely referenced. Even though Hubble’s distances have a large systematic error, Hubble’s velocities come chiefly from Vesto Melvin Slipher, and the interpretation in terms of the de Sitter effect is out of the mainstream of modern cosmology, this article opened the way to investigation of the expanding, evolving, and accelerating universe that engages today’s burgeoning field of cosmology.
Gostaria de saber quem se habilita para este seminário.
1. Mostre que a linearidade da relação de Hubble é necessária para que o princípio cosmológico seja satisfeito.
2. Resolva a integral (2.9)
A disciplina também envolve a apresentação de seminários. Uma sugestão para o próximo seminário (o1 de agosto) é a apresentação do artigo de caráter histórico, sobre a publicação original de Hubble:
10.1073/pnas.2536799100
PNAS | January 6, 2004 | vol. 101 | no. 1 | 8-13
Hubble’s diagram and cosmic expansion
Robert P. Kirshner
Harvard–Smithsonian Center for Astrophysics, 60 Garden Street, Cambridge, MA 02138
Contributed by Robert P. Kirshner, October 21, 2003
Edwin Hubble’s classic article on the expanding universe appeared in PNAS in 1929 [Hubble, E. P. (1929) Proc. Natl. Acad. Sci. USA 15, 168–173]. The chief result, that a galaxy’s distance is proportional to its redshift, is so well known and so deeply embedded into the language of astronomy through the Hubble diagram, the Hubble constant, Hubble’s Law, and the Hubble time, that the article itself is rarely referenced. Even though Hubble’s distances have a large systematic error, Hubble’s velocities come chiefly from Vesto Melvin Slipher, and the interpretation in terms of the de Sitter effect is out of the mainstream of modern cosmology, this article opened the way to investigation of the expanding, evolving, and accelerating universe that engages today’s burgeoning field of cosmology.
Gostaria de saber quem se habilita para este seminário.
Monday, July 23, 2007
Início das Aulas
Caros Colegas,
Iniciaremos as atividades do curso de Cosmologia nesta terça (24/07), 13:30, Sala B07, com cosmologia observacional, revendo Liddle [1]. Na quarta seguiremos com geometria riemanniana do Nakahara [2], a partir do ponto onde paramos (significado geométrico da torção). Nesta disciplina, um dia da semana será dedicado à Cosmologia propriamente dita e outro à Relatividade Geral. Possivelmente o dois temas se reencontrarão antes do fim do semestre.
Além deste blog, o curso conta com o mailing-list permanente do Relativity Journal Club: relatividade@googlegroups.com, onde mensagens relativas tanto a esta disciplina quanto a temas gerais de RG e Cosmologia podem ser postados.
No que se refere ao início de atividades, aqui vão algumas informações:
RG: Os tópicos de RG que ainda veremos do livro do Nakahara não estão necessariamente neste programa. A idéia de ter seguido este livro é a de estabelecer fundamentos sólidos de geometria diferencial. Os assuntos de RG aí estudados aparecerão novamente, num contexto mais físico, como no livro de Plebanski e Krasinski [3].
Cosmologia: No que se refere ao estudo da Cosmologia, começaremos com abordagens observacionais, mas logo depois nos dedicaremos também à Cosmologia Relativística, utilizando, por exemplo, parte dos textos de Novello e Ellis das Escolas de Cosmologia do CBPF [4-6].
F. Sasse
[1] Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, 2a Ed., John Wiley & Sons, 2003.
[2] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd Ed. IOP, 2003.
[3] Jerzy Plebanski, Andrzej Krasinski, An Introduction to General Relativity and Cosmology, Cambridge University Press, 2006.
[4] M. Novello, Cosmologia Relativística, II BSCG, 1979.
[5] G. F. R. Ellis, Standard Cosmology, V BSCG, 1987.
[6] M. Novello, Theoretical Cosmology, VII BSCG, 1993.
Iniciaremos as atividades do curso de Cosmologia nesta terça (24/07), 13:30, Sala B07, com cosmologia observacional, revendo Liddle [1]. Na quarta seguiremos com geometria riemanniana do Nakahara [2], a partir do ponto onde paramos (significado geométrico da torção). Nesta disciplina, um dia da semana será dedicado à Cosmologia propriamente dita e outro à Relatividade Geral. Possivelmente o dois temas se reencontrarão antes do fim do semestre.
Além deste blog, o curso conta com o mailing-list permanente do Relativity Journal Club: relatividade@googlegroups.com, onde mensagens relativas tanto a esta disciplina quanto a temas gerais de RG e Cosmologia podem ser postados.
No que se refere ao início de atividades, aqui vão algumas informações:
RG: Os tópicos de RG que ainda veremos do livro do Nakahara não estão necessariamente neste programa. A idéia de ter seguido este livro é a de estabelecer fundamentos sólidos de geometria diferencial. Os assuntos de RG aí estudados aparecerão novamente, num contexto mais físico, como no livro de Plebanski e Krasinski [3].
Cosmologia: No que se refere ao estudo da Cosmologia, começaremos com abordagens observacionais, mas logo depois nos dedicaremos também à Cosmologia Relativística, utilizando, por exemplo, parte dos textos de Novello e Ellis das Escolas de Cosmologia do CBPF [4-6].
F. Sasse
[1] Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, 2a Ed., John Wiley & Sons, 2003.
[2] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd Ed. IOP, 2003.
[3] Jerzy Plebanski, Andrzej Krasinski, An Introduction to General Relativity and Cosmology, Cambridge University Press, 2006.
[4] M. Novello, Cosmologia Relativística, II BSCG, 1979.
[5] G. F. R. Ellis, Standard Cosmology, V BSCG, 1987.
[6] M. Novello, Theoretical Cosmology, VII BSCG, 1993.
Friday, July 20, 2007
Introdução
Este é o blog para a disciplina de Cosmologia do Mestrado em Física da UDESC-Joinville, no semestre 2007/2. As mensagens aqui postadas descreverão o conteúdo de cada aula. A razão de se usar o blog em lugar da página convencional é que o primeiro é muito fácil de se atualizar. A página oficial da disciplina, contendo informações gerais, está em http:\\deeke.org\cosmologia2.html
Subscribe to:
Posts (Atom)