Aula 2: Princípio de Equivalência

Na aula 2, do dia 25/07, concluímos a discussão do Capítulo 2 do livro de Liddle. Após iniciamos uma introdução física e heurística da Teoria da Relatividade Geral, baseada em Weinberg [1]. Discutimos sobre as diversas versões do Princípio de Equivalência (EP). Na próxima aula (27/07, sexta, 14:00) usaremos o EP como guia para estabelecer as equações de movimento de uma partícula em um campo gravitacional. Apresento abaixo alguns detalhes adicionais sobre o Princípio de Equivalência, baseada em grande parte em Will [2].

Apesar do Princípio de Equivalência ter sido considerado por Einstein (usado em 1907 para prever a deflexão da luz em um campo gravitacional) a pedra fundamental da teoria de relatividade geral, consideramos hoje o EP como o fundamento da idéia mais geral de que o espaço-tempo é curvo.

O chamado Princípio de Equivalência Fraco (WEP) é a forma do princípio de equivalência que Newton tinha mente é o que estabelece que a massa de um corpo é proporcional ao seu peso. Alternativamente, o Princípio de Equivalência Fraco estabelece que a trajetória de um corpo em queda livre (que não sofre ação de forças e muito pequeno para ser afetado por forças de maré) é independente de sua estrutura interna e composição. No caso simples da queda de dois corpos em um campo gravitacional o WEP afirma que os corpos caem com a mesma aceleração (universalidade da queda livre).

Após a formulação da relatividade geral (RG) de Einstein, tornou-se necessário o desenvolvimento de um programa para testar a RG relativamente a outras teorias de gravitação, compatíveis com a relatividade especial. Tal programa foi proposto por Robert Dicke nos anos 60 e sumurizado nas suas Les Houches Lectures de 1963 [1]. Dois novos princípios foram sugeridos, o chamado Princípio de Equivalência de Einstein (EEP) e o Princípio de Equivalência forte (SEP), ambos supondo o o WEP como ponto de partida.

O Princípio de Equivalência de Einstein estabelece que:

1. O WEP é válido

2. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente da velocidade do referencial de queda livre onde ele é realizado. Esta é a chamada Invariância de Lorentz Local (LLI).

3. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente de onde e quando ele é realizado. Esta parte é denominada Invariância de Posição Local (LPI).

Por exemplo, uma medida da força elétrica entre dois corpos carregados é um experimento local não-gravitacional; uma medida da força gravitacional entre dois corpos (experimento de Cavendish) é um experimento local que não é.

O Princípio de Equivalência de Einstein é o ingrediente básico das chamadas teorias métricas da gravitação. Se o EEP é válido, então a gravitação deve ser um fenômeno decorrente da curvatura do espaço. As teorias métricas da gravidade devem satisfazer os postulados:

1. O espaço-tempo é dotado de uma métrica simétrica.

2. As trajetórias de corpos-teste em queda livre são geodésicas desta métrica.

3. Em referenciais locais em queda livre, as leis não-gravitacionais da física são aquelas descritas pela teoria da relatividade especial.

O argumento que leva às conclusões acimas é baseado nos seguintes fatos: se o EEP é válido, então em referenciais locais em queda livre, as leis que governam os experimentos devem ser independentes da velocidade do referencial (Invariância de Lorentz Local), com valores constantes (no espaço-tempo) para as várias constantes atômicas (Invariância de Posição Local). As únicas leis conhecidas que satisfazem estas exigências são aquelas que são compatíveis com a relatividade especial. Além disso, de acordo com a primeira parte do EEP, em referenciais locais em queda livre, partículas-teste são não-aceleradas, ou seja, movem-se em linhas retas. Tais linhas "localmente retas" correspondem às geodésicas em um espaço-tempo curvo.

A relatividade geral é uma teoria métrica da gravidade, mas há também muitas outras, incluindo a teoria de Brans-Dicke e suas generalizações. Teorias onde constantes não-gravitacionais são associadas com campos dinâmicos que se acoplam com matéria diretamente não são métricas. A teoria de superstrings, por exemplo, embora baseada em uma métrica de espaço-tempo, introduz campos adicionais que podem acoplar-se ao tensor momento-energia da matéria de um modo que pode levar a violações do WEP. Há uma ambiguidade, no entanto, relacionada ao fato de devermos tratar tais campos como campos gravitacionais que violam o EEP, ou simplesmente como campos adicionais de matéria, como aqueles do eletromagnetismo ou interações fracas.

O Princípio de Equivalência Forte (SEP) estabelece que os resultados que qualquer experimento local, gravitacional ou não, em um referencial inercial, são independentes de onde e quando eles são realizados. Este princípio é relevante no caso de sistemas gravitantes com considerável energia de ligação gravitacional, tal como estrelas. Em particular, o SEP exige que a constante gravitacional seja a mesma em qualquer parte do universo.

Os testes experimentais do Princípio de Equivalência em suas diferentes partes são descrito por Will [2].

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[1] S. Weiberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.

[2] Clifford M. Will, "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Rev. Relativity 4, (2001), http://www.livingreviews.org/lrr-2001-4

[1] Dicke, R.H., “Experimental relativity”, in DeWitt, C.M., and DeWitt, B.S., eds., Relativity, Groups and Topology. Relativité, Groupes et Topologie, Lectures delivered at Les Houches during the 1963 session of the Summer School of Theoretical Physics, University of Grenoble, 165-313, (Gordon and Breach, New York, U.S.A., 1964).