23: Geometria diferencial VII

Na aula 23, 17/10, definimos a derivada de Lie de tensores em bases coordenadas, seguindo Wald [1] e Stephani et al. [2]
Tarefas:
1. Deduza a expressão para a derivada de Lie de um tensor de tipo (0,2).
2. Obtenha a expressão da derivada de Lie de um tensor do tipo (3,1) utilizando a fórmula geral (2.62) de [2].
3. Prove a expressão (2.64) de [2].

[1] Robert M. Wald, General Relativity, University Of Chicago Press, 1984.
[2] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books).

22: Geometria diferencial VI

Na aula 22, 15/10, segunda, abordou os seguintes tópicos, seguindo Wald [1], :

1. Mapeamentos induzidos
2. Transformações de simetria
   
3. Difeomorfismos com liberdade de gauge da relatividade geral

[1] Robert M. Wald, General Relativity, University Of Chicago Press, 1984.

21: Geometria diferencial V

Na aula 21, 10/10, quarta, abordamos os seguintes tópicos:

1. Derivada exterior
2. Teorema de Poincaré
3. Teorema de Frobenius
4. Posto de 2-forms
5. Teorema de Darboux
6. Classificação de 1-forms em 4-d

Tarefas:
1. Calcule o posto de uma 2-form dx1 dx0 + dx2 dx3 +dx0 dx3.
2. Classifique todas 1-forms em 5-d.
3. Reproduza em detalhes os passos da prova do Teorema 2.5, p. 21 de Stephani et al. [1]

[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books).

Aula 20: Geometria diferencial IV

Na aula 20, 8/10, segunda, abordamos os seguintes tópicos:

1. Mapeamentos de tensores
2. Mapeamentos induzidos de vetores, formas e tensores
3. Produto exterior

Tarefa:
Prove a eq. (2.28), p. 17 de [1]. Demonstre inicialmente a expressão para p=2, 3, 4.

[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books).

Aula 19: Geometria diferencial III

Na aula 19, dia 3 /10, quarta, abordamos os tópicos:

1. One-forms
2. Espaço cotangente
3. Campos de 1-forms
4. Tensores
   

Aula 18: Geometria diferencial II

Na aula do dia 01/10, segunda, revisamos os conceitos seguintes:

1. Derivadas direcionais ao longo de linhas coordenadas: bases coordenadas
2. Bases não-coordenadas
3. Fibrado tangente
4. Campos vetoriais e comutadores