Exames finais

Não haverá mais aulas de Cosmologia. O curso finalizará com:
- Uma prova a ser resolvida em casa (50%), que será entregue no dia 3/12, a ser devolvida até 17/12;
- Uma prova em sala no dia 17/12 (20%), 09:20;
- Listas de exercícios (30%) que devem ser entregues até 14/12 .
Tais prazos foram estendidos ao máximo, de acordo com o que permite o calendário acadêmico da UDESC (seguido pelo Programa de Mestrado em Física).

35: Equações de movimento no campo gravitacional

Na aula 35, do dia 28/11, seguindo sec. 8.8 de [1], mostramos que a partir da divergência do tensor momento-energia de uma partícula num campo gravitacional, é possível mostrar que esta segue uma linha geodésica.
Determinamos também a eq. de movimento de partículas de poeira.

Tarefa:
Resolva o problema 8.2 de [1].

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.

34: Correntes e densidades

Na aula 34 do dia 26/11 examinamos, seguindo Weinberg (p. 39), no contexto da relatividade especial definimos corrente e densidade associados a uma partícula carregada. Analogamente (p. 126) definimos as componentes do tensor momento-energia de uma partícula como densidade e corrente de 4-momento, fazendo em seguida a generalização para espaços-tempos curvos.

[1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General
Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.

33: Constante cosmológica e equações de movimento

Na aula 33, do dia 21/11 introduzimos o conceito de constante cosmológica e vimos como ela pode gerar gravitação repulsiva. Argumentamos como a divergência do tensor momento-energia pode gerar as equações de movimento de uma partícula em relatividade geral.

32: Equações de Einstein

Na aula 32, do dia 19/11, seguindo as secs. 8.4, 8.5 e 8.6 de [1], construímos as eqs. de Einstein.
Note que, relativamente às convenções listadas no Apêndice 8B (p. 193) de [1], nossas conveções são S1=-1, S2=1, S3=1.

Tarefa:
Determine S1, S2, S3 para os textos [2] em diante.

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.
[2] Sean Carrol, Spacetime and Geometry, An Introduction to General Relativity, Addison-Wesley, 2003
[3] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd Ed. IOP, 2003.
[4] E. M. Lifshitz and L. D. Landau,: Field Theory : Volume 3, Butterworth-Heinemann, 1981.
[5] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).
[6] Robert M. Wald, General Relativity, University Of Chicago Press, 1984.
[7] Gron, Oyvind, Hervik, Sigbjorn, Einstein's General Theory of Relativity with Modern Applications in Cosmology, Springer, 2007.

31: Tensor momento-energia de um fluido perfeito

Na aula 31, do dia 16/11, seguindo [1], no contexto da relatividade especial, definimos o tensor momento-energia de poeira e fluido perfeito. Neste caso, mostramos como a divergência do tensor do momento-energia conduz à equação relativística da continuidade e à equação relativística do movimento. Mostramos que no limite não relativístico esta se reduz à equação de Euler para um fluido perfeito.

Tarefa:
Mostre a equivalência das expressões matricial e algébrica para as componente do tensor momento-energia de um fluido perfeito (equivalência das eqs. (8.3) e (8.4) de [1]).

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.

30: Equações de Maxwell em forma covariante

Na aula 30, do dia 12, seguindo Hobson et al. [1], construímos heuristicamente as equações de Maxwell na forma covariante. Definimos os campos elétrico e magnético em termos do 4-potencial A, definimos o gauge de Lorenz e obtivemos a forma clássica 3-D das equações de Maxwell. Em seguida determinamos a correspondência entre o tensor eletromagnético F e os 3-vetores E e B. Generalizamos todo o formalismo do eletromagnetismo para espaços-tempos curvos, utilizando o princípio do acoplamento mínimo.

Tarefas:
Problemas 6.1 a 6.10 de [1], p. 145.

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006 [pdf].

29: Força de Lorentz

Na aula 29, do dia 7/11, seguindo Rindler [1] e Hobson et al. [2], construímos heuristicamente a expressão relativística da força de Lorentz em termos de 4-vetores. Em seguida definimos o 4-vetor densidade de corrente.

[1] Wolfgand Rindler, Relativity: Special General & Cosmological, Oxford University Press, 2001.
[2] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.

28: Tensor momento-energia

Na aula 28, do dia 5/11, seguindo Landau & Lifschitz [1] deduzimos e interpretamos o tensor momento-energia associado a um campo descrito por uma densidade lagrangiana.

Tarefa:
Determine, em termos do tensor eletromagnético, a forma do tensor energia-momento do campo eletromagnético.

[1] L. Landau e E. Lifshitz, Teoria do Campo, Mir, 1980, p.114

27: Geometria Diferencial XI

Na aula 27, 31/10, definimos formalmente o tensor métrico. Definimos os coeficientes de rotação de Ricci em termos dos coeficientes de conexão e expressamos estes em termos de derivadas das componentes do tensor métrico e dos coeficientes de comutação. Mostramos como recuperar as conhecidas expressões para os símbolos de Christoffel em bases coordenadas. Definimos bases de tétradas de Lorentz e tétradas nulas complexas para o espaço-tempo.

Tarefas :
1. Obtenha a matriz de tétradas na eq. (3.8) [1].
2. Obtenha as bases duais em (3.10).
3. Obtenha a relação entre tétradas de Lorentz e tétradas nulas (3.12).

26: Geometria Diferencial X

Na aula 26, 29/10, obtivemos a fórmula as componentes da derivada covariante de um tensor qualquer numa base geral. Definimos o tensor de Riemann e obtivemos a identidade de Ricci. Deduzimos a forma do tensor de Riemann em termos dos coeficientes de conexão. Definimos o tensor de Ricci. Obtivemos a segunda equação de Cartan, resultando num algoritmo útil para calcular o tensor de curvatura a partir de um conjunto de 1-formas de base. Introduzimos um espaço métrico e aplicamos o algoritmo a uma geometria riemanniana de espaço-tempo esféricamente simétrica.

Tarefas:
1. Prove as relações de simetria (2.80), (2.81) e (2.82) de [1].
2. Deduza a segunda equação de Cartan (2.85).
3. Prove as identidades de Bianchi (2.86).
4. Utilize o formalismo de Cartan para calcular o tensor de Riemann e o tensor de Ricci de uma geometria do modelo cosmológico estático de Einstein. Veja, por exemplo, eq. (112.4), com a=const. de Landau-Lifschitz [2]. Resolva manualmente e depois utilizando GRTensor. Um exemplo similar utilizando uma geometria esférica pode ser encontrado nas notas de aula na pasta de Cosmologia na sala de Xerox. A solução utilizando GRtensor pode ser encontrada também na página do curso .


[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).
[2] L. Landau e E. Lifshitz, Teoria do Campo, Mir, 1980.

25: Geometria Diferencial IX

Na aula 25, 24/10, checamos o formalismo de Cartan numa base coordenada e obtivemos a primeira equação de Cartan.

Tarefa:
1. Prove a eq. (2.73) de [1]

[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).

24: Geometria diferencial VIII

Na aula 24, 22/10, seguindo [1], definimos a conexão sobre uma variedade numa base geral. Definimos 1-formas de coxexão e os coeficientes de conexão e obtivemos as expressões para a derivada covariante de vetores e de 1-formas numa base qualquer.

Tarefas:
1. Prove a eq. (2.67) de [2].
2. Prove a eq. (2.70) de [2].

[1] David Lovelock, Hanno Rund, Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, Dover, 1989.

[2] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).