26: Geometria Diferencial X

Na aula 26, 29/10, obtivemos a fórmula as componentes da derivada covariante de um tensor qualquer numa base geral. Definimos o tensor de Riemann e obtivemos a identidade de Ricci. Deduzimos a forma do tensor de Riemann em termos dos coeficientes de conexão. Definimos o tensor de Ricci. Obtivemos a segunda equação de Cartan, resultando num algoritmo útil para calcular o tensor de curvatura a partir de um conjunto de 1-formas de base. Introduzimos um espaço métrico e aplicamos o algoritmo a uma geometria riemanniana de espaço-tempo esféricamente simétrica.

Tarefas:
1. Prove as relações de simetria (2.80), (2.81) e (2.82) de [1].
2. Deduza a segunda equação de Cartan (2.85).
3. Prove as identidades de Bianchi (2.86).
4. Utilize o formalismo de Cartan para calcular o tensor de Riemann e o tensor de Ricci de uma geometria do modelo cosmológico estático de Einstein. Veja, por exemplo, eq. (112.4), com a=const. de Landau-Lifschitz [2]. Resolva manualmente e depois utilizando GRTensor. Um exemplo similar utilizando uma geometria esférica pode ser encontrado nas notas de aula na pasta de Cosmologia na sala de Xerox. A solução utilizando GRtensor pode ser encontrada também na página do curso .


[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).
[2] L. Landau e E. Lifshitz, Teoria do Campo, Mir, 1980.