Aula 17: Revisão de geometria diferencial

Na aula 17, do dia 20 de setembro, quinta, iniciamos uma revisão de geometria diferencial, revendo o que já foi estudado em detalhe no livro do Nakahara, em 2007/1. Para isso, uma boa referência é a a referência é Kramer, Stephani et al. [1]. O último assunto visto foi a definição de vetores como operadores sobre uma variedade e a definição de espaço tangente. O objetivo desta revisão é a preparação uso de formas diferenciais como ferramenta no cálculo de tensores e escalares de curvatura em bases de tétradas.
[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books). Devido ao XXVIII ENFPC em Águas de Lindóia a próxima aula ocorrerá somente na segunda-feira, 01 de outubro.

Aula 16: Coordenadas gaussianas

Na aula 16, do dia 17 de setembro, segunda-feira, mostramos como construir coordenadas gaussianas nas vizinhanças de um ponto qualquer, seguindo Addler-Bazin-Shiffer. Além disso, deduzimos a expressão geral da 4-aceleração de um observador comovente gaussiano.
Tarefas:
1. Refaça cuidadosamente os cálculos que levam à expressão da aceleração de um observador comovente.
2. Calcule os símbolos de Christoffel para a geometria de Schwarzschild através de dois métodos: (i) através da definição (utilize computação algébrica) e (ii) através das equações da geodésica.
3. Calcule, para esta geometria, o tensor de Riemann e mostre que o tensor de Ricci,

onde

é nulo.
4. Calcule a aceleração de um observador estático na geometria de Schwarzschild.

Aula 15: Geodesics and Christoffel symbols in Riemannian spaces, special coordinate systems

Na aula 15, do dia 12 de setembro, quarta, construímos, seguindo Stephani, a equação da geodésica em espaços (pseudo) riemannianos. Foi obtida a integral primeira de movimento e a relação envolvendo a derivada do determinante da métrica. Estudamos sistemas de coordenados especiais, incluindo coordenadas ortogonais, e coordenadas gaussianas ou sincrônicas.
Tarefas:
1. Determine a forma da transformação da conexão afim supondo a invariância da forma da equação da geodésica.
2. Determine explicitamente coordenadas sincrônicas para uma métrica geral.

Aula 14: Curvatura e desvio geodésico

Seguindo Stephani, introduzimos o conceito de tensor de curvatura (tensor de Riemann) descrevendo de forma covariante a aceleração relativa entre duas partículas vizinhas seguindo trajetórias geodésicas. O conceito de derivada covariante foi aqui introduzido de forma natural, sem a necessidade de conhecimento prévio de geometria diferencial.
Tarefas:
1. Determine as componentes não-nulas do tensor de Riemann para uma 2-esfera.
2. Utilizando computação algébrica determine o tensor de Riemann para outras geometrias de curvatura constante.

Aula 13: The force free motion of particles in Newtonian mechanics

Na aula 13, do dia 5 de setembro, quarta, estudamos uma interessante seção livro de Hans Stephani [1] onde as equações de movimento de uma partícula livre no contexto da física newtoniana são descritas em um sistema coordenada geral. Usando as equações de Lagrange obtivemos a expressão para os símbolos de Christoffel. Em seguida generalizamos tal abordagem para descrever o movimento de uma partícula sobre uma 2-superfície possivelmente curva. Finalmente, mostramos que as equações de movimento da partícula livre (em 2d ou 3d) podem ser deduzidas também através da minimização da distância entre dois pontos (equação da geodésica).
Tarefas:
1. Obtenha os símbolos de Christoffel não-nulos associados ao movimento em um espaço euclideano 3-d em coordenadas esféricas, e depois aqueles associados à geometria de uma 2-esfera, utilizando (i) a definição e (ii) as equações de movimento. No item (i) mostre como o resultado pode ser obtido utilizando computação algébrica.
2. Quantos símbolos de Christoffel existem, em geral, em 2-d, 3-d, 4-d, ..., n-d ?

[1] Hans Stephani, General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field,. 2nd Ed., Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.

Aula 12: Derivada covariante, aplicações

Na aula 12, do dia 27 de agosto, segunda feira, seguindo Weinberg, vimos a generalização da derivada covariante para tensores de ordem superior e mostramos que a derivada covariante da métrica é zero. Deduzimos a expressão para a divergência covariante (eq. (4.7.7)), usando um método diferente daquele de Weinberg.
Tarefas:
1- Por quê a eq. (4.7.7) implica na expressão covariante do teorema de Gauss (4.7.8) ?
2- Prove as eqs. (4.7.9), (4.7.10) e (4.7.11).