Na aula 13, do dia 5 de setembro, quarta, estudamos uma interessante seção livro de Hans Stephani [1] onde as equações de movimento de uma partícula livre no contexto da física newtoniana são descritas em um sistema coordenada geral. Usando as equações de Lagrange obtivemos a expressão para os símbolos de Christoffel. Em seguida generalizamos tal abordagem para descrever o movimento de uma partícula sobre uma 2-superfície possivelmente curva. Finalmente, mostramos que as equações de movimento da partícula livre (em 2d ou 3d) podem ser deduzidas também através da minimização da distância entre dois pontos (equação da geodésica).
Tarefas:
1. Obtenha os símbolos de Christoffel não-nulos associados ao movimento em um espaço euclideano 3-d em coordenadas esféricas, e depois aqueles associados à geometria de uma 2-esfera, utilizando (i) a definição e (ii) as equações de movimento. No item (i) mostre como o resultado pode ser obtido utilizando computação algébrica.
2. Quantos símbolos de Christoffel existem, em geral, em 2-d, 3-d, 4-d, ..., n-d ?
[1] Hans Stephani, General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field,. 2nd Ed., Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.
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