Take home exam

Aqui estão as provas escritas a serem devolvidas até 17/12. Há versões diferentes para diferentes alunos:
Prova A (F. Guesser)
Prova B (Denilso Palaoro)

Exames finais

Não haverá mais aulas de Cosmologia. O curso finalizará com:
- Uma prova a ser resolvida em casa (50%), que será entregue no dia 3/12, a ser devolvida até 17/12;
- Uma prova em sala no dia 17/12 (20%), 09:20;
- Listas de exercícios (30%) que devem ser entregues até 14/12 .
Tais prazos foram estendidos ao máximo, de acordo com o que permite o calendário acadêmico da UDESC (seguido pelo Programa de Mestrado em Física).

35: Equações de movimento no campo gravitacional

Na aula 35, do dia 28/11, seguindo sec. 8.8 de [1], mostramos que a partir da divergência do tensor momento-energia de uma partícula num campo gravitacional, é possível mostrar que esta segue uma linha geodésica.
Determinamos também a eq. de movimento de partículas de poeira.

Tarefa:
Resolva o problema 8.2 de [1].

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.

34: Correntes e densidades

Na aula 34 do dia 26/11 examinamos, seguindo Weinberg (p. 39), no contexto da relatividade especial definimos corrente e densidade associados a uma partícula carregada. Analogamente (p. 126) definimos as componentes do tensor momento-energia de uma partícula como densidade e corrente de 4-momento, fazendo em seguida a generalização para espaços-tempos curvos.

[1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General
Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.

33: Constante cosmológica e equações de movimento

Na aula 33, do dia 21/11 introduzimos o conceito de constante cosmológica e vimos como ela pode gerar gravitação repulsiva. Argumentamos como a divergência do tensor momento-energia pode gerar as equações de movimento de uma partícula em relatividade geral.

32: Equações de Einstein

Na aula 32, do dia 19/11, seguindo as secs. 8.4, 8.5 e 8.6 de [1], construímos as eqs. de Einstein.
Note que, relativamente às convenções listadas no Apêndice 8B (p. 193) de [1], nossas conveções são S1=-1, S2=1, S3=1.

Tarefa:
Determine S1, S2, S3 para os textos [2] em diante.

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.
[2] Sean Carrol, Spacetime and Geometry, An Introduction to General Relativity, Addison-Wesley, 2003
[3] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd Ed. IOP, 2003.
[4] E. M. Lifshitz and L. D. Landau,: Field Theory : Volume 3, Butterworth-Heinemann, 1981.
[5] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).
[6] Robert M. Wald, General Relativity, University Of Chicago Press, 1984.
[7] Gron, Oyvind, Hervik, Sigbjorn, Einstein's General Theory of Relativity with Modern Applications in Cosmology, Springer, 2007.

31: Tensor momento-energia de um fluido perfeito

Na aula 31, do dia 16/11, seguindo [1], no contexto da relatividade especial, definimos o tensor momento-energia de poeira e fluido perfeito. Neste caso, mostramos como a divergência do tensor do momento-energia conduz à equação relativística da continuidade e à equação relativística do movimento. Mostramos que no limite não relativístico esta se reduz à equação de Euler para um fluido perfeito.

Tarefa:
Mostre a equivalência das expressões matricial e algébrica para as componente do tensor momento-energia de um fluido perfeito (equivalência das eqs. (8.3) e (8.4) de [1]).

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.

30: Equações de Maxwell em forma covariante

Na aula 30, do dia 12, seguindo Hobson et al. [1], construímos heuristicamente as equações de Maxwell na forma covariante. Definimos os campos elétrico e magnético em termos do 4-potencial A, definimos o gauge de Lorenz e obtivemos a forma clássica 3-D das equações de Maxwell. Em seguida determinamos a correspondência entre o tensor eletromagnético F e os 3-vetores E e B. Generalizamos todo o formalismo do eletromagnetismo para espaços-tempos curvos, utilizando o princípio do acoplamento mínimo.

Tarefas:
Problemas 6.1 a 6.10 de [1], p. 145.

[1] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006 [pdf].

29: Força de Lorentz

Na aula 29, do dia 7/11, seguindo Rindler [1] e Hobson et al. [2], construímos heuristicamente a expressão relativística da força de Lorentz em termos de 4-vetores. Em seguida definimos o 4-vetor densidade de corrente.

[1] Wolfgand Rindler, Relativity: Special General & Cosmological, Oxford University Press, 2001.
[2] Michael Paul Hobson, George Efstathiou, A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, 2006.

28: Tensor momento-energia

Na aula 28, do dia 5/11, seguindo Landau & Lifschitz [1] deduzimos e interpretamos o tensor momento-energia associado a um campo descrito por uma densidade lagrangiana.

Tarefa:
Determine, em termos do tensor eletromagnético, a forma do tensor energia-momento do campo eletromagnético.

[1] L. Landau e E. Lifshitz, Teoria do Campo, Mir, 1980, p.114

27: Geometria Diferencial XI

Na aula 27, 31/10, definimos formalmente o tensor métrico. Definimos os coeficientes de rotação de Ricci em termos dos coeficientes de conexão e expressamos estes em termos de derivadas das componentes do tensor métrico e dos coeficientes de comutação. Mostramos como recuperar as conhecidas expressões para os símbolos de Christoffel em bases coordenadas. Definimos bases de tétradas de Lorentz e tétradas nulas complexas para o espaço-tempo.

Tarefas :
1. Obtenha a matriz de tétradas na eq. (3.8) [1].
2. Obtenha as bases duais em (3.10).
3. Obtenha a relação entre tétradas de Lorentz e tétradas nulas (3.12).

26: Geometria Diferencial X

Na aula 26, 29/10, obtivemos a fórmula as componentes da derivada covariante de um tensor qualquer numa base geral. Definimos o tensor de Riemann e obtivemos a identidade de Ricci. Deduzimos a forma do tensor de Riemann em termos dos coeficientes de conexão. Definimos o tensor de Ricci. Obtivemos a segunda equação de Cartan, resultando num algoritmo útil para calcular o tensor de curvatura a partir de um conjunto de 1-formas de base. Introduzimos um espaço métrico e aplicamos o algoritmo a uma geometria riemanniana de espaço-tempo esféricamente simétrica.

Tarefas:
1. Prove as relações de simetria (2.80), (2.81) e (2.82) de [1].
2. Deduza a segunda equação de Cartan (2.85).
3. Prove as identidades de Bianchi (2.86).
4. Utilize o formalismo de Cartan para calcular o tensor de Riemann e o tensor de Ricci de uma geometria do modelo cosmológico estático de Einstein. Veja, por exemplo, eq. (112.4), com a=const. de Landau-Lifschitz [2]. Resolva manualmente e depois utilizando GRTensor. Um exemplo similar utilizando uma geometria esférica pode ser encontrado nas notas de aula na pasta de Cosmologia na sala de Xerox. A solução utilizando GRtensor pode ser encontrada também na página do curso .


[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).
[2] L. Landau e E. Lifshitz, Teoria do Campo, Mir, 1980.

25: Geometria Diferencial IX

Na aula 25, 24/10, checamos o formalismo de Cartan numa base coordenada e obtivemos a primeira equação de Cartan.

Tarefa:
1. Prove a eq. (2.73) de [1]

[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).

24: Geometria diferencial VIII

Na aula 24, 22/10, seguindo [1], definimos a conexão sobre uma variedade numa base geral. Definimos 1-formas de coxexão e os coeficientes de conexão e obtivemos as expressões para a derivada covariante de vetores e de 1-formas numa base qualquer.

Tarefas:
1. Prove a eq. (2.67) de [2].
2. Prove a eq. (2.70) de [2].

[1] David Lovelock, Hanno Rund, Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, Dover, 1989.

[2] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press, 2003.(Google Books).

23: Geometria diferencial VII

Na aula 23, 17/10, definimos a derivada de Lie de tensores em bases coordenadas, seguindo Wald [1] e Stephani et al. [2]
Tarefas:
1. Deduza a expressão para a derivada de Lie de um tensor de tipo (0,2).
2. Obtenha a expressão da derivada de Lie de um tensor do tipo (3,1) utilizando a fórmula geral (2.62) de [2].
3. Prove a expressão (2.64) de [2].

[1] Robert M. Wald, General Relativity, University Of Chicago Press, 1984.
[2] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books).

22: Geometria diferencial VI

Na aula 22, 15/10, segunda, abordou os seguintes tópicos, seguindo Wald [1], :

1. Mapeamentos induzidos
2. Transformações de simetria
   
3. Difeomorfismos com liberdade de gauge da relatividade geral

[1] Robert M. Wald, General Relativity, University Of Chicago Press, 1984.

21: Geometria diferencial V

Na aula 21, 10/10, quarta, abordamos os seguintes tópicos:

1. Derivada exterior
2. Teorema de Poincaré
3. Teorema de Frobenius
4. Posto de 2-forms
5. Teorema de Darboux
6. Classificação de 1-forms em 4-d

Tarefas:
1. Calcule o posto de uma 2-form dx1 dx0 + dx2 dx3 +dx0 dx3.
2. Classifique todas 1-forms em 5-d.
3. Reproduza em detalhes os passos da prova do Teorema 2.5, p. 21 de Stephani et al. [1]

[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books).

Aula 20: Geometria diferencial IV

Na aula 20, 8/10, segunda, abordamos os seguintes tópicos:

1. Mapeamentos de tensores
2. Mapeamentos induzidos de vetores, formas e tensores
3. Produto exterior

Tarefa:
Prove a eq. (2.28), p. 17 de [1]. Demonstre inicialmente a expressão para p=2, 3, 4.

[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books).

Aula 19: Geometria diferencial III

Na aula 19, dia 3 /10, quarta, abordamos os tópicos:

1. One-forms
2. Espaço cotangente
3. Campos de 1-forms
4. Tensores
   

Aula 18: Geometria diferencial II

Na aula do dia 01/10, segunda, revisamos os conceitos seguintes:

1. Derivadas direcionais ao longo de linhas coordenadas: bases coordenadas
2. Bases não-coordenadas
3. Fibrado tangente
4. Campos vetoriais e comutadores

Aula 17: Revisão de geometria diferencial

Na aula 17, do dia 20 de setembro, quinta, iniciamos uma revisão de geometria diferencial, revendo o que já foi estudado em detalhe no livro do Nakahara, em 2007/1. Para isso, uma boa referência é a a referência é Kramer, Stephani et al. [1]. O último assunto visto foi a definição de vetores como operadores sobre uma variedade e a definição de espaço tangente. O objetivo desta revisão é a preparação uso de formas diferenciais como ferramenta no cálculo de tensores e escalares de curvatura em bases de tétradas.
[1] Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press (Google Books). Devido ao XXVIII ENFPC em Águas de Lindóia a próxima aula ocorrerá somente na segunda-feira, 01 de outubro.

Aula 16: Coordenadas gaussianas

Na aula 16, do dia 17 de setembro, segunda-feira, mostramos como construir coordenadas gaussianas nas vizinhanças de um ponto qualquer, seguindo Addler-Bazin-Shiffer. Além disso, deduzimos a expressão geral da 4-aceleração de um observador comovente gaussiano.
Tarefas:
1. Refaça cuidadosamente os cálculos que levam à expressão da aceleração de um observador comovente.
2. Calcule os símbolos de Christoffel para a geometria de Schwarzschild através de dois métodos: (i) através da definição (utilize computação algébrica) e (ii) através das equações da geodésica.
3. Calcule, para esta geometria, o tensor de Riemann e mostre que o tensor de Ricci,

onde

é nulo.
4. Calcule a aceleração de um observador estático na geometria de Schwarzschild.

Aula 15: Geodesics and Christoffel symbols in Riemannian spaces, special coordinate systems

Na aula 15, do dia 12 de setembro, quarta, construímos, seguindo Stephani, a equação da geodésica em espaços (pseudo) riemannianos. Foi obtida a integral primeira de movimento e a relação envolvendo a derivada do determinante da métrica. Estudamos sistemas de coordenados especiais, incluindo coordenadas ortogonais, e coordenadas gaussianas ou sincrônicas.
Tarefas:
1. Determine a forma da transformação da conexão afim supondo a invariância da forma da equação da geodésica.
2. Determine explicitamente coordenadas sincrônicas para uma métrica geral.

Aula 14: Curvatura e desvio geodésico

Seguindo Stephani, introduzimos o conceito de tensor de curvatura (tensor de Riemann) descrevendo de forma covariante a aceleração relativa entre duas partículas vizinhas seguindo trajetórias geodésicas. O conceito de derivada covariante foi aqui introduzido de forma natural, sem a necessidade de conhecimento prévio de geometria diferencial.
Tarefas:
1. Determine as componentes não-nulas do tensor de Riemann para uma 2-esfera.
2. Utilizando computação algébrica determine o tensor de Riemann para outras geometrias de curvatura constante.

Aula 13: The force free motion of particles in Newtonian mechanics

Na aula 13, do dia 5 de setembro, quarta, estudamos uma interessante seção livro de Hans Stephani [1] onde as equações de movimento de uma partícula livre no contexto da física newtoniana são descritas em um sistema coordenada geral. Usando as equações de Lagrange obtivemos a expressão para os símbolos de Christoffel. Em seguida generalizamos tal abordagem para descrever o movimento de uma partícula sobre uma 2-superfície possivelmente curva. Finalmente, mostramos que as equações de movimento da partícula livre (em 2d ou 3d) podem ser deduzidas também através da minimização da distância entre dois pontos (equação da geodésica).
Tarefas:
1. Obtenha os símbolos de Christoffel não-nulos associados ao movimento em um espaço euclideano 3-d em coordenadas esféricas, e depois aqueles associados à geometria de uma 2-esfera, utilizando (i) a definição e (ii) as equações de movimento. No item (i) mostre como o resultado pode ser obtido utilizando computação algébrica.
2. Quantos símbolos de Christoffel existem, em geral, em 2-d, 3-d, 4-d, ..., n-d ?

[1] Hans Stephani, General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field,. 2nd Ed., Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.

Aula 12: Derivada covariante, aplicações

Na aula 12, do dia 27 de agosto, segunda feira, seguindo Weinberg, vimos a generalização da derivada covariante para tensores de ordem superior e mostramos que a derivada covariante da métrica é zero. Deduzimos a expressão para a divergência covariante (eq. (4.7.7)), usando um método diferente daquele de Weinberg.
Tarefas:
1- Por quê a eq. (4.7.7) implica na expressão covariante do teorema de Gauss (4.7.8) ?
2- Prove as eqs. (4.7.9), (4.7.10) e (4.7.11).

Aula 11: Age of the Universe

Na aula 11, quarta, dia 22, vimos os problemas associados às estimativas da idade do Universo. Vimos como, mesmo antes da observação da expansão acelerada em 1998, a constante cosmológica ou uma energia de vácuo deveria ser a grande salvadora do modelo cosmológico padrão. Sem isso não há compatibilidade com as idades observadas de objetos astrofísicos, como globular clusters.
Tarefas propostas para o dia 29/8, referentes ao texto de Liddle:
1. Obter o gráfico da fig. 8.1
2. Obter a formula (8.6)
3. Resolver todos os problemas do capítulo 8.

Na aula 12, segunda, continuaremos o estudo de álgebra e análise tensorial, conforme os tópicos 3, 4 e 5 de Weinberg.

Aula 10: transformação da conexão afim e derivada covariante

Na aula 10, do dia 20/8 discutimos o princípio da covarância geral, apresentamos a transformação da conexão afim e a definimos a derivada covariante.

Nenhuma tarefa foi proposta.

O seguinte tópico do livro do Liddle será abordado da na aula 11, na quarta, 22 de agosto:

8 The Age of the Universe 57

Aula 9: redshift & gravitational time delay

Na aula 9, seguindo Rindler, mostramos que os fenômenos de redshift gravitacional e gravitational time delay podem ser deduzidos, a partir do princípio de equivalência, sem a ajuda da equação de Planck-Einstein. Ou seja, tais propriedades são intrínsecas ao espaço-tempo e não estão relacionadas a qualquer propriadade especial da luz.

Tarefas para próxima quarta, 22 de agosto:
1. Mostre que a eq. (1.15) pode também descrever a trajetória de uma partícula newtoniana que viaja momentaneamente com velocidade da luz.
2. Resolva o problema 1.9

Aula 8: parâmetros observacionais, constante cosmológica

Na aula 8, de segunda, 13/8, estudamos os capítulos 6 e 7 do livro de Liddle, conforme descrito na mensagem anterior.
Tarefas para o dia 20/8/2007, segunda: resolver os problemas dos cap. 6 e 7 de Liddle.
Os tópicos da aula 9, nesta quarta, (extraordinariamente 13:30) foram descritos na mensagem anterior.

Aula 7: Limite newtoniano e redshift gravitacional

Na aula 7 (8/8, quarta) consideramos o limite newtoniano da equação geodésica do movimento em um campo gravitacional, como descrito no posting anterior. Além disso, seguindo Rindler (sec. 1.16), usando o princípio de equivalência, deduzimos uma expressão simples para o redshift gravitacional em um campo gravitacional estacionário.

Tarefas para o dia 15/8, quarta:

1. Comprove as afirmações da página 79 de Weinberg:

The gravitational potential phi is of the order of 10^-39 at the surface of a proton, 10^- 9 at the surface of the earth, 1^-6 at the surface of the sun, and 10^-4 at the surface of a white dwarf star, so evidently the distortion in g_uv produced by gravitation is generally very slight. (In c.g.s. units phi has the dimensions of a squared velocity; in our units phi is the c.g.s. value divided by the square of the c.g.s. speed of light.)

2. Mostre que o raio de curvatura, previsto através do princípio de equivalência, para um raio de luz viajando nas proximidades da superfície da terra é aproximadamente 1 (p.24 de Rindler).

Na aula 9, 15/8, continuaremos a discussão sobre redshift gravitacional, consideraremos o gravitational time delay, e iniciaremos os seguintes tópicos de Weinberg:

3 Tensor Algebra 96
Linear combinations. Direct products. Contraction. Raising and lowering indices.

4 Tensor Densities 98
Transformation of the metric determinant. Scalar densities. Tensor densities.
Weights. Volume elements as scalar densities. The Levi-Civita tensor.
Density. Tensor density algebra

5 Transformation of the Affine Connection 100
The inhomogeneous transformation law. Transformation of derivatives of the metric tensor. Alternative derivation of the relation between the affine connection and metric tensor. Alternative derivation of the equation of motion.

Na aula 8 (segunda, 13/8) abordaremos os seguintes tópicos de Liddle:

6 Observational Parameters 45
6.1 The expansion rate H_0 ........................... 45
6.2 The density parameter Omega_0 .......................... 47
6.3 The deceleration parameter q_0 ....................... 48

7 The Cosmological Constant 51
7.1 Introducing Lambda ................................ 51
7.2 Fluid description of Lambda ............................ 52
7.3 Cosmological models with Lambda ......................53

Aula 6: Modelos cosmológicos simples

Na aula de segunda, 6 de agosto foram apresentados os tópicos do livro do Liddle, listados no posting anterior.

Tarefas para segunda, 13 de agosto: (i) Resolver problemas 5.1 a 5.6 de Liddle, exceto 5.2. (ii) A partir de princípios básicos obtenha a equação de estado para radiação, mencionada no problema 5.2.

Na Aula 7 desta quarta consideraremos o seguinte tópico de Weinberg:
4 The Newtonian Limit 77
Relation between goo and the Newtonian potential.

Os tópicos time dilation e gravitational redshift, em minha opinião, não estão muito claramente apresentados no tópico 5 deste livro de Weinberg. Para isso utilizaremos o livro
Wolfgand Rindler, Relativity: Special General & Cosmological, Oxford University Press, 2001. Farei disponíveis as páginas relevantes do livro.

Aula 5: Forma variacional das equações de movimento

Tópicos estudados na Aula 5, quarta 01/8/2007:
-Variational form of the equations of motion
- Geodesics

Tarefa para quarta, 8 de agosto: Reproduzir detalhadamente a eq. (3.3.10) de Weinberg

Tópicos para a aula 6, segunda 6/8/2007, 09:20, segundo Liddle:

5 Simple Cosmological Models 33
5.1 Hubble's law ................................ 33
5.2 Expansion and redshift ........................... 34
5.3 Solving the equations ............................ 35
5.3.1 Matter ................................ 36
5.3.2 Radiation .............................. 37
5.3.3 Mixtures .............................. 38
5.4 Particle number densities .......................... 39
5.5 Evolution including curvature ....................... 40

Aula 4: Modelo newtoniano de expansão

Na aula da segunda, 30 de julho seguimos com a discussão do modelo newtoniano de expansão, correspondente ao capítulo 3 do livro de Liddle. Os tópicos estudados foram:
3. 1 The Friedmann equation .......................... 18
3.2 On the meaning of the expansion ...................... 21
3.3 Things that go faster than light ....................... 21
3.4 The fluid equation .............................. 22
3.5 The acceleration equation .......................... 23
3.6 On mass, energy and vanishing factors of c .................24

Uma questão interessante seria considerar o modelo newtoniano de expansão com ingredientes relativísticos, além daquele que consiste em se tomar a energia do fluido, ao se aplicar a primeira lei da termodinâmica para determinação da equação do fluido. Quais são os horizontes nos casos clássico e relativístico ?

Na aula 5, quarta, 01/8, retornaremos ao livro de Weinberg.

Aula 3 : Conseqüências do Princípio de Equivalência

Nesta sexta, na aula 3, foram apresentados os seguintes tópicos do livro do Weinberg, que devem ser cuidadosamente relidos, refazendo as passagens matemáticas:

3 THE PRINCIPLE OF EQUIVALENCE 67
1 Statement of the Principle 67
Equivalence of gravitation and inertia. Analogy with metric geometry. The weak and strong principles of equivalence.

2 Gravitational Forces 70
The equation of motion. The affine connection. The metric tensor. Motion of photons. Light travel times. Determination of the locally inertial frames.

3 Relation between metric and affine connection 73
Derivatives of the metric in terms of the affine connection.The Principle of Equivalence sharpened. Solution for the affine connection. Inverse of the metric tensor. Variational form of the equations of motion. Geodesics.

4 The Newtonian Limit 77
Relation between g_{00} and the Newtonian potential.

Os tópicos em azul serão apresentados na aula de quarta, 01/08.

Lembro que na quarta devem ser entregues os exercícios do cap. 2 de Liddle e na sexta, 03/08, os problemas propostos na aula de hoje (Weinberg):
1. Provar a eq. (3.2.10) .
2. Deduza a eq. (3.3.7).

Na segunda, 13:30, prosseguiremos com o cap. 3 de Liddle.

Aula 2: Princípio de Equivalência

Na aula 2, do dia 25/07, concluímos a discussão do Capítulo 2 do livro de Liddle. Após iniciamos uma introdução física e heurística da Teoria da Relatividade Geral, baseada em Weinberg [1]. Discutimos sobre as diversas versões do Princípio de Equivalência (EP). Na próxima aula (27/07, sexta, 14:00) usaremos o EP como guia para estabelecer as equações de movimento de uma partícula em um campo gravitacional. Apresento abaixo alguns detalhes adicionais sobre o Princípio de Equivalência, baseada em grande parte em Will [2].

Apesar do Princípio de Equivalência ter sido considerado por Einstein (usado em 1907 para prever a deflexão da luz em um campo gravitacional) a pedra fundamental da teoria de relatividade geral, consideramos hoje o EP como o fundamento da idéia mais geral de que o espaço-tempo é curvo.

O chamado Princípio de Equivalência Fraco (WEP) é a forma do princípio de equivalência que Newton tinha mente é o que estabelece que a massa de um corpo é proporcional ao seu peso. Alternativamente, o Princípio de Equivalência Fraco estabelece que a trajetória de um corpo em queda livre (que não sofre ação de forças e muito pequeno para ser afetado por forças de maré) é independente de sua estrutura interna e composição. No caso simples da queda de dois corpos em um campo gravitacional o WEP afirma que os corpos caem com a mesma aceleração (universalidade da queda livre).

Após a formulação da relatividade geral (RG) de Einstein, tornou-se necessário o desenvolvimento de um programa para testar a RG relativamente a outras teorias de gravitação, compatíveis com a relatividade especial. Tal programa foi proposto por Robert Dicke nos anos 60 e sumurizado nas suas Les Houches Lectures de 1963 [1]. Dois novos princípios foram sugeridos, o chamado Princípio de Equivalência de Einstein (EEP) e o Princípio de Equivalência forte (SEP), ambos supondo o o WEP como ponto de partida.

O Princípio de Equivalência de Einstein estabelece que:

1. O WEP é válido

2. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente da velocidade do referencial de queda livre onde ele é realizado. Esta é a chamada Invariância de Lorentz Local (LLI).

3. O resultado de qualquer experimento local não-gravitacional é independente de onde e quando ele é realizado. Esta parte é denominada Invariância de Posição Local (LPI).

Por exemplo, uma medida da força elétrica entre dois corpos carregados é um experimento local não-gravitacional; uma medida da força gravitacional entre dois corpos (experimento de Cavendish) é um experimento local que não é.

O Princípio de Equivalência de Einstein é o ingrediente básico das chamadas teorias métricas da gravitação. Se o EEP é válido, então a gravitação deve ser um fenômeno decorrente da curvatura do espaço. As teorias métricas da gravidade devem satisfazer os postulados:

1. O espaço-tempo é dotado de uma métrica simétrica.

2. As trajetórias de corpos-teste em queda livre são geodésicas desta métrica.

3. Em referenciais locais em queda livre, as leis não-gravitacionais da física são aquelas descritas pela teoria da relatividade especial.

O argumento que leva às conclusões acimas é baseado nos seguintes fatos: se o EEP é válido, então em referenciais locais em queda livre, as leis que governam os experimentos devem ser independentes da velocidade do referencial (Invariância de Lorentz Local), com valores constantes (no espaço-tempo) para as várias constantes atômicas (Invariância de Posição Local). As únicas leis conhecidas que satisfazem estas exigências são aquelas que são compatíveis com a relatividade especial. Além disso, de acordo com a primeira parte do EEP, em referenciais locais em queda livre, partículas-teste são não-aceleradas, ou seja, movem-se em linhas retas. Tais linhas "localmente retas" correspondem às geodésicas em um espaço-tempo curvo.

A relatividade geral é uma teoria métrica da gravidade, mas há também muitas outras, incluindo a teoria de Brans-Dicke e suas generalizações. Teorias onde constantes não-gravitacionais são associadas com campos dinâmicos que se acoplam com matéria diretamente não são métricas. A teoria de superstrings, por exemplo, embora baseada em uma métrica de espaço-tempo, introduz campos adicionais que podem acoplar-se ao tensor momento-energia da matéria de um modo que pode levar a violações do WEP. Há uma ambiguidade, no entanto, relacionada ao fato de devermos tratar tais campos como campos gravitacionais que violam o EEP, ou simplesmente como campos adicionais de matéria, como aqueles do eletromagnetismo ou interações fracas.

O Princípio de Equivalência Forte (SEP) estabelece que os resultados que qualquer experimento local, gravitacional ou não, em um referencial inercial, são independentes de onde e quando eles são realizados. Este princípio é relevante no caso de sistemas gravitantes com considerável energia de ligação gravitacional, tal como estrelas. Em particular, o SEP exige que a constante gravitacional seja a mesma em qualquer parte do universo.

Os testes experimentais do Princípio de Equivalência em suas diferentes partes são descrito por Will [2].

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[1] S. Weiberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.

[2] Clifford M. Will, "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Rev. Relativity 4, (2001), http://www.livingreviews.org/lrr-2001-4

[1] Dicke, R.H., “Experimental relativity”, in DeWitt, C.M., and DeWitt, B.S., eds., Relativity, Groups and Topology. Relativité, Groupes et Topologie, Lectures delivered at Les Houches during the 1963 session of the Summer School of Theoretical Physics, University of Grenoble, 165-313, (Gordon and Breach, New York, U.S.A., 1964).

Aula 1: Origens da moderna cosmologia

Na aula desta terça (24/7/2007) discutimos rapidamente as origens da cosmologia relativística e revisamos o Capítulo 2, Observational Overview, do livro de Liddle. A seção 2.5 será concluída na aula de amanhã (14:00). Para a quarta-feira da semana que vem (o1/8) devem ser resolvidos os problemas 2.1 a 2.6 de Liddle. Além disso os seguintes problemas devem ser resolvidos:
1. Mostre que a linearidade da relação de Hubble é necessária para que o princípio cosmológico seja satisfeito.
2. Resolva a integral (2.9)

A disciplina também envolve a apresentação de seminários. Uma sugestão para o próximo seminário (o1 de agosto) é a apresentação do artigo de caráter histórico, sobre a publicação original de Hubble:

10.1073/pnas.2536799100
PNAS | January 6, 2004 | vol. 101 | no. 1 | 8-13
Hubble’s diagram and cosmic expansion
Robert P. Kirshner

Harvard–Smithsonian Center for Astrophysics, 60 Garden Street, Cambridge, MA 02138
Contributed by Robert P. Kirshner, October 21, 2003

Edwin Hubble’s classic article on the expanding universe appeared in PNAS in 1929 [Hubble, E. P. (1929) Proc. Natl. Acad. Sci. USA 15, 168–173]. The chief result, that a galaxy’s distance is proportional to its redshift, is so well known and so deeply embedded into the language of astronomy through the Hubble diagram, the Hubble constant, Hubble’s Law, and the Hubble time, that the article itself is rarely referenced. Even though Hubble’s distances have a large systematic error, Hubble’s velocities come chiefly from Vesto Melvin Slipher, and the interpretation in terms of the de Sitter effect is out of the mainstream of modern cosmology, this article opened the way to investigation of the expanding, evolving, and accelerating universe that engages today’s burgeoning field of cosmology.

Gostaria de saber quem se habilita para este seminário.

Início das Aulas

Caros Colegas,

Iniciaremos as atividades do curso de Cosmologia nesta terça (24/07), 13:30, Sala B07, com cosmologia observacional, revendo Liddle [1]. Na quarta seguiremos com geometria riemanniana do Nakahara [2], a partir do ponto onde paramos (significado geométrico da torção). Nesta disciplina, um dia da semana será dedicado à Cosmologia propriamente dita e outro à Relatividade Geral. Possivelmente o dois temas se reencontrarão antes do fim do semestre.

Além deste blog, o curso conta com o mailing-list permanente do Relativity Journal Club: relatividade@googlegroups.com, onde mensagens relativas tanto a esta disciplina quanto a temas gerais de RG e Cosmologia podem ser postados.

No que se refere ao início de atividades, aqui vão algumas informações:

RG: Os tópicos de RG que ainda veremos do livro do Nakahara não estão necessariamente neste programa. A idéia de ter seguido este livro é a de estabelecer fundamentos sólidos de geometria diferencial. Os assuntos de RG aí estudados aparecerão novamente, num contexto mais físico, como no livro de Plebanski e Krasinski [3].

Cosmologia: No que se refere ao estudo da Cosmologia, começaremos com abordagens observacionais, mas logo depois nos dedicaremos também à Cosmologia Relativística, utilizando, por exemplo, parte dos textos de Novello e Ellis das Escolas de Cosmologia do CBPF [4-6].

F. Sasse

[1] Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, 2a Ed., John Wiley & Sons, 2003.
[2] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd Ed. IOP, 2003.
[3] Jerzy Plebanski, Andrzej Krasinski, An Introduction to General Relativity and Cosmology, Cambridge University Press, 2006.
[4] M. Novello, Cosmologia Relativística, II BSCG, 1979.
[5] G. F. R. Ellis, Standard Cosmology, V BSCG, 1987.
[6] M. Novello, Theoretical Cosmology, VII BSCG, 1993.

Introdução

Este é o blog para a disciplina de Cosmologia do Mestrado em Física da UDESC-Joinville, no semestre 2007/2. As mensagens aqui postadas descreverão o conteúdo de cada aula. A razão de se usar o blog em lugar da página convencional é que o primeiro é muito fácil de se atualizar. A página oficial da disciplina, contendo informações gerais, está em http:\\deeke.org\cosmologia2.html